Kurtoza

Czym dokładnie jest kurtoza?  

Kurtoza to miara koncentracji uzyskanych wyników. Mówi nam czy i w jakim stopniu nasze uzyskane obserwacje są skoncentrowane wokół średniej. Czyli określa jak wiele naszych wyników bądź obserwacji jest zbliżona do wartości średniej oraz czy większość z uzyskanych wyników ma wartość podobną do średniej. Przyjrzyjmy się zatem jak definicja kurtozy może zostać przełożona na konkretne zastosowanie.

 

Kurtoza wzór i interpretacja wyniku

Nowy wzór kurtozy ma postać stosującą moment centralny czwartego rzędu

Gdzie:

• m⁴ oznacza moment centralny rzędu czwartego
• s⁴ jest odchyleniem standardowym podniesionym do czwartej potęgi.

Dzięki odjęciu od ułamka „3” uzyskuje się wynik, gdzie kurtoza rozkładu normalnego (rozkładu Gaussa)  wynosi 0 oraz jeśli Y jest sumą n niezależnych zmiennych losowych, każdej o rozkładzie identycznym z rozkładem zmiennej losowej X zachodzi poniższa własność:

Kurt[Y] = Kurt [X]/n

Kurtoza może mieć wartość dodatnią lub ujemną. Rozkład prawdopodobieństwa może być:

• mezokurtyczny (rozkład normalny, gdzie K równa jest 0) – wartość kurtozy wynosi 0, spłaszczenie rozkładu jest podobne do spłaszczenia rozkładu  normalnego (dla którego kurtoza wynosi dokładnie 0)
• leptokurtyczne (rozkład wysmukły, gdzie  K większa 0) –  tutaj jest dodatnia, wartości cechy mają większą koncentrację niż przy rozkładzie normalnym
• platokurtyczne (rozkład spłaszczony, gdzie K mniejsza od 0) –  w tym przypadku mówimy o kurtozie, że jest ujemna, tj. wartości cechy mają mniejszą koncentrację niż przy rozkładzie normalnym

Przykład:

Badacz chciał zweryfikować czy są różnice w wadze wśród studentów studiów licencjackich i magisterskich. Uzyskane w badaniu wagi studentów wyglądały następująco:

W obu przypadkach średnia waga studentów wyniosła 60 kg. Jednakże w przypadku studentów studiów licencjackich większość osób ma zbliżoną wagę, wynoszącą najczęściej 60 kg. Czyli uzyskane wyniki są skoncentrowane wokół średniej. W grupie studentów studiów magisterskich rozpiętość wagowa była od 50 kg do 70 kg i tylko kilka osób miało wagę równą uzyskanej średniej wadze w grupie.

Dzięki zastosowaniu kurtozy możemy się dowiedzieć jak duża jest rozpiętość uzyskanych pomiarów czy wyników i czy są one zbliżone do wartości średniej. Gdy kurtoza osiąga wartość dodatnią, powyżej 0, to uzyskujemy informację, że istnieje duża koncentracja wyników wokół średniej a przez to, jest dużo wyników podobnych do siebie. Gdy z kolei przyjmuje wartość mniejszą niż O to uzyskujemy informację, że dużo wyników jest rozproszonych i znacznie różnią się od średniej.

Definicja kurtozy to ważne pojęcie dla statystyka 

Kurtoza jako miara może posłużyć nam do określenia czy precyzyjnie zmierzyliśmy średnią wartość w badanej grupie. Dla przykładu, gdy jest ujemna w małej próbie badawczej można jej wynik potraktować jako wskaźnik, że prawdopodobnie rozkład wartości w populacji jest niedokładny i nie można być pewnym zastosowanych testów, gdyż mogą dawać błędne wyniki.

 

Szukasz więcej informacji odnośnie pojęć statystyki? Poznaj inne podstawowe definicje w zakładce statystyka podstawowe pojęcia 🙂