Średnia arytmetyczna – jak rozumieć tę definicję, czym właściwie jest to pojęcie?

Średnia arytmetyczna  jest jednym z najbardziej podstawowych i znanych pojęć statystycznych służącym do opisu zbiorowości masowej. Zaliczamy ją do grupy klasycznych miar średnich (inaczej miar przeciętnych, miar położenia). Wartość średniej arytmetycznej jest ilorazem (wynikiem dzielenia) zsumowanej wartości wszystkich badanych zmiennych oraz liczebności badanej populacji. Wyliczyć możemy ją z wzoru ogólnego o następującej postaci:

Gdzie:

– symbolizuje średnią arytmetyczną,

– wartość zmiennej i-tej badanej jednostki,

N- liczebność badanej populacji.

Wynikiem powyższego ilorazu będzie wartość (miejsce) najsilniejszej koncentracji wyników w badanej populacji, wokół której będą kształtować się wszystkie wartości cechy populacji. Wartość średniej nie może być więc niższa od najmniejszej wartości oraz wyższa od wartości najwyższej w badanej populacji. Dla lepszego zobrazowania sposób wyliczania średniej posłużmy się klasycznym przykładem.

Jak wyliczyć średnią arytmetyczną? – przykład

Przykład 1

Marek jest uczniem klasy III A w obecnym semestrze pilnie pracował i uzyskał z matematyki następujące oceny:

W celu wyliczenia wartości średniej ( ) sumujemy wartości zmiennej (5+4+5+3=17) następnie  ustalamy liczebność populacji (N=4) a w ostatnim kroku dzielimy przez siebie obie wartości (17/4= 4,25). Wartość średniej arytmetycznej ocen wynosi więc 4,25.

Popularność oraz powszechność zastosowania średniej w wielu dziedzinach życia jest niewątpliwie wynikiem jej zalet. Podstawową cechą omawianej miary jest łatwość jej stosowania, gdy mamy dostęp do wartości wszystkich zmiennych populacji to z pomocą najprostszego kalkulatora jesteśmy w stanie poznać wartość średniej w bardzo krótkim czasie. Dodatkowo podkreślić należy także intuicyjność miary oraz łatwość interpretacji i porównywania uzyskanych wyników.

Średnia arytmetyczna – jej wady i ograniczenia

Niestety wskazać należy także wady średniej arytmetycznej oraz zwrócić uwagę na problemy jakie one ze sobą niosą. Najważniejszą wadą średniej arytmetycznej jest duża wrażliwość na wpływ wartości skrajnych. Mówiąc prościej średnią arytmetyczną można łatwo „zakłamać”, gdy w badanej populacji pojawi się jakaś skrajna wartość. W celu zaprezentowania na czym dokładnie polega problematyka powróćmy do omówionego już przykładu.

Marek na tydzień przed klasyfikacją semestralną mógł pochwalić się średnia ocen z matematyki równą 4,25. Niestety  pewnego dnia zapomniał zabrać ze sobą podręcznika szkolnego za co uzyskał ocenę niedostateczna, zobaczmy co stało się z jego średnią ocen.

W obecnej sytuacji średnia spadła do poziomu 3,6 co jest znacznie gorszą średnią od wyniku z przed uzyskaniem oceny niedostatecznej. Jak widzimy wpływ skrajnej wartości jaką dla wybranego przykładu jest 1 bardzo mocno zaniża ostateczny wynik średniej oraz w jakimś stopniu zniekształca rzeczywistość, bo przecież Marek nie stał się dużo gorszym matematykiem dlatego ze zapomniał podręcznika. W zaprezentowanym przykładzie możliwe wartości zmiennej znajdują się w przedziale <1;6> jednak w innych przypadkach, gdzie nie ma ściśle określonego przedziału, zakłócenia rzeczywistości spowodowane wliczeniem do średniej wartości skrajnej mogą być jeszcze silniejsze.

Kolejną poważną wadą średniej arytmetycznej jest to, że traktuje one wszystkie wartości zmiennej jako tak samo ważne, mają one ten sam wpływ na wynik. W rzeczywistości jednak sytuacja często wygląda inaczej.  Otóż jedne wartości są dla nas ważniejsze a inne mniej, w takich sytuacjach średnia arytmetyczna nie znajdzie zastosowania.

Podsumowując średnia arytmetyczna jest niezastąpiona miarą w wielu dziedzinach życia. Przemawia za nią jej prostota oraz duża przydatność, zaś najlepsze rezultaty daje badanie zbiorowości jednorodnej o niskim stopniu zróżnicowania cechy zmiennej. Należy jednak  być świadomym jej wad po to by uniknąć prostych błędów i nadinterpretacji danych.